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Tutorial zum Erlernen der AVR Assembler-Sprache von
AVR-Einchip-Prozessoren
von ATMEL anhand praktischer Beispiele.

Einfacher 8-Bit-Digital-zu-Analog-Wandler mit einem R/2R-Netzwerk
Rechengrundlagen R/2R-Netzwerk

Rechengrundlagen R/2R-Netzwerk

Hier wird stufenweise gezeigt, wie so ein R/2R-Netzwerk funktioniert und wie es gerechnet werden kann.

Ein-Bit-DAC

Das hier ist ein einfacher Ein-Bit-DAC.

Abhängig vom Zustand des Einganges an Bit 0 liefert der 1-Bit-DAC zwei verschiedene Analogspannungen:

Ist Bit 0 Null, beträgt die Ausgangsspannung 0 Volt.
Ist Bit 0 Eins, ergibt sich die Ausgangsspannung 1/2 U_B

U_B ist dabei die Betriebsspannung der Schaltung, also z. B. 5,0 V. Die halbe Betriebsspannung ergibt sich daraus, dass die Spannung durch die beiden gleich großen Widerstände "2*R" geteilt wird und deshalb nur die Hälfte der Spannung am Ausgang ankommt, die andere Hälfte bleibt am oberen Widerstand hängen.

Für den Anfänger noch drei Anmerkungen:

Warum "2*R" und nicht einfach "R" erschließt sich erst ab dem Zwei-Bit-DAC. Bei dem kommt nämlich tatsächlich auch ein "R" vor, halb so groß wie ein "2*R".
Der waagrechte Strich unten am zweiten Widerstand heißt "0 Volt", manchmal auch Ground oder kurz "GND" genannt. In unserem Fall ist es der Minuspol der Betriebsspannung.
Es ist übrigens weitgehend egal, um was für Widerstände es sich handelt. Sie dürfen nicht allzu klein sein, weil sonst der Portausgang, der Bit 0 antreibt, zu viel Strom liefern muss und seine Ausgangsspannung zusammenbrechen würde. Er soll aber auch nicht zu groß sein, weil dadurch
- die Last, die an den Ausgang angelegt wird, zu einer Spannungssenkung führt, und weil
- die kapazitative Last, die an den Ausgang angeschlossen wird, zum Verschleifen des Signals beiträgt.

Zwei-Bit-DAC

Jetzt wird es schon spannender, ein 2-Bit-DAC.

Abhängig vom Zustand zweier Bits, Bit 0 und 1, lassen sich nicht nur zwei, sondern vier verschiedene Analogspannungen einstellen. Die Zustände 00, 01, 10 und 11 an den Eingängen bewirken dies. Hier kommen wieder die "2*R" vor, die an die Eingänge angeschlossen sind, aber auch ein "R", der die untere Stufe mit der oberen Stufe verknüpft. Deshalb heißt das Ding R/2R-Netzwerk.

Das gleiche Prinzip kann so fortgesetzt werden, um 4-, 8- oder 10-Bit-ADCs zu bauen.

Stroeme beim 2-Bit-DAC

Wie es funktioniert, dass die beiden Eingänge Bit 0 und 1 so unterschiedlich zum Endergebnis U_R1 beitragen, kann man nur verstehen, wenn man die Ströme durch das Netzwerk genauer betrachtet. Alle Ströme wirken dabei zusammen:

Der Strom im unteren Zweig teilt sich auf: ein Teil fließt zum Eingangspin Bit 0, der andere fließt direkt zum Minuspol, in beiden Fällen gebremst durch Widerstände 2R.
Der Strom im unteren Zweig fließt auch durch "R" zum Ausgangspin und derselbe auch durch den oberen 2R-Widerstand zum Eingang Bit 1, allerdings in umgekehrter Richtung.

Die Berechnung dieser Stromorgie ist etwas komplizierter und erfordert ziemlich viel Algebra, kommt aber zu einem recht einfachen Ergebnis. Hier ist der ganze Rechengang.

Berechnung 2-Bit-DAC

Das Ergebnis der ganzen Rechnerei in Gleichung (18) ist schrecklich einfach, alle Rs und 2Rs und alle Is haben sich vollständig ausgeixt und das Ergebnis kann sich sehen lassen: jedes Bit trägt zum Endergebnis entsprechend seiner binären Wertigkeit bei, Bit 1 die Häfte, Bit 0 ein Viertel.

Die Gleichung (19) macht daraus eine allgemeingültige Regel für n Portausgänge, so dass wir uns den elendigen Formelwust für 8 Eingänge mit 9 mal 2R und 7 mal R sparen können. Passt auch nicht auf eine HTML-Seite und schon gar nicht auf eine Handy-Anzeige.

Acht-Bit-DAC

Das ist nun ein Acht-Bit-DAC. Auf die Berechnung aller Ströme müssen wir hier mal verzichten, weil es wie beschrieben auch nicht auf eine Webseite passt.

Die hohe Popularität dieser Seite hat mich darüber nachdenken lassen, wie man auf vereinfachte Weise zu den Formeln für einen 8-Bit-DAC kommt (scheinbar gibt es Professoren, die ihre Studenten mit solch einem Unsinn beschäftigen). Hier also die einfache Lösung.

Acht-Bit-DAC: Spannung auf dem untersten Kreuzungspunkt

Acht-Bit-DAC: Spannung auf dem untersten Kreuzungspunkt

Beginnen wir von unten nach oben und berechnen zunächst die Spannung am Knotenpunkt U_R0. Der Strom, der von oben her, von U_R1, in diesen Knoten fließt, fließt aus dem Knoten einerseits in den Treiberpin von Bit 0 über den Widerstand 2*R, andererseits nach Null Volt, ebenfalls über 2*R. Gleichung (1) setzt beides gleich. Nach Ohm ist der Strom U / I, sodass wir zu Formel (2) kommen. Um das lästige R loszuwerden, nehmen wir beide Seiten mit 2*R mal und kriegen (3). Dann sortieren wir ein wenig um, so dass alle U_R1 links stehen, in Formel (4). Nach Summieren in Gleichung (5) teilen wir das Ganze durch 4 und kriegen eine recht einfache Formal (6) daraus. Wir wissen schon mal, dass die Hälfte der Spannung an diesem Knotenpunkt von oben her stammt, von U_R1, und ein Viertel aus dem Pin 0. Nur U_R1 darin ist noch unbekannt.

Acht-Bit-DAC: Spannung auf dem zweituntersten Kreuzungspunkt

Acht-Bit-DAC: Spannung auf dem zweituntersten Kreuzungspunkt

Die U_R1 kriegen wir aber auch noch kleingehackt. Dazu nehmen wir uns die nächst höhere Ebene des Netwerks vor und machen genau dasselbe damit: Ströme gleichsetzen, nach Ohm in Spannungen und Widerstände umrechnen und ein wenig umsortieren, so dass die Unbekannte U_R1 allein steht. Und wir machen noch eins: für U_R0 seten wir schon mal die Formel (6) ein und kommen so zu Formel (13).

Und wieder trägt der nächst höhere Knotenpunkt zu der Spannung am Knotenpunkt U_R1 die Hälfte bei, der Pin 1 ein Viertel und der Pin 0 ein Achtel.

Acht-Bit-DAC: Spannung auf dem drittuntersten Kreuzungspunkt

Acht-Bit-DAC: Spannung auf dem drittuntersten Kreuzungspunkt

Und, auch wenn wir es schon ahnen, was herauskommt, hier noch eine weitere Ebene höher.

Immer dasselbe, nur müssen wir hier U_R1 mit der Formel aus (13) ersetzen. Und siehe da: der Einfluss von Pin 0 ist jetzt nur noch ein Sechzehntel, Pin 1 ein Achtel und Pin 2 ein Viertel.

Mit jeder weiteren Ebene mit jedem weiteren Datenpin geht das mit den Zweierpotenzen immer so weiter, bis wir bei Pin 7 angekommen sind und unsere Formel fertig ist. Langweilig und allenfalls als akademische Wixerei zum Quälen von Studenten geeignet.

R2R-DAC-Ströme

Und jetzt noch für Schlaumeiers: was passiert eigentlich, wenn Pin 1 und alle darüber auf Null sind und nur Pin 0 auf Eins? Nun, dann kehren sich halt die Vorzeichen aller Ströme um, und trotzdem bleibt alles wie gehabt. Pin 0 betankt dann alle Pins darüber mit Strom, mit zunehmender Entfernung nach oben hin halt immer weniger davon. Der Strom-Potpourri wird dann halt immer vielfältiger.

Obacht, Professoren: quält Eure Studenten doch mal mit der Frage, bei welchen Binärkombinationen der Port am meisten Strom liefern muss. Und zwar nach beiden Richtungen (nach GND und zur Betriebsspannung hin).

Um Euch Professoren den Spaß zu verderben, gibt es hier schon mal das fertige Libre-Office-Rechensheet dazu. Man beachte hierin die Eins! Alles bis auf Pin 0 negativ.

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